ACF & PACF

19 Mar 2021 ML

: ARIMA또는 Prophet등 데이터의 과거 패턴만을 활용한 시계열 분석에 있어서 중요한 개념 중 하나가 자기상관함수(ACF : Aucto Correlation Function)와 편자기상관함수(PACF : Partial autocorrelation Fucntion)이다. 특히 Arima의 경우, 위 두가지 함수를 그려보며, 데이터의 자기상관성을 검토하여 파라미터(p,d,q)를 설정하니 각 개념에 대하여 살펴보자.

1. 자기상관함수(ACF : Aucto Correlation Function)

ACF : $y_t$와 $y_{t+k}$사이의 Correlation을 측정하는 것

분자 : $var(y_t)$ : $N-K$관측값을 대상으로 계산하기에 K가 커지면 줄어듦.
분모 : $cov(y_t, y_{t+k})$ : 모든 N개의 관측치에 대해서 측정하기에 고정됨

∴ K가 커지면, 분자의 SUM값이 줄어들어 ACF(k)는 줄어든다. 다시말해 K가 커지면 오늘을 기점으로 먼 미래의 상관관계를 측정하는 것이기에, 자기상관계수는 줄어들게 된다.

+ 자기상관계수 vs 상관계수(PACF : Partial autocorrelation Fucntion)

2. 편자기상관함수(PACF : Partial autocorrelation Fucntion)

: 앞서 ACF만으로는 자기상관성(AR:Autocorrelation)모델과 이동평균(MA:MovingAverage)모델을 선택하거나, 얼만큼의 시차(lag)를 적용할지 결정하기 어렵다. 이에 추가로 PACF를 활용한 분석이 필요하다.

PACF는 $y_t$와 $y_{t+k}$사이의 Correlation을 측정하는 것은 동일하나,
$t$와 $t_{+k}$사이의 다른 $y$값들의 영향력을 배제하고 측정한다. ‘ACF가’ ‘미분’이라면, ‘PACF’는 ‘편미분’과 유사해 보인다.

이때, $e_{t}$는 아래와 같으며,

온전한 $y_{t}$와 $y_{t+k}$만을 남겨놓고, 둘 사이의 상관계수를 계산한다.

3. 차분(Differencing)

: ACF와 PACF는 시계열적인 특성만을 이야기한다. 때문에, 그래프 자체가 전체적으로 우상향/우하향 하는 선형적인 추세가 있다면, 시계열이 비정상(non-stationary)으로 작동하여 ACF와 PACF를 정확하게 살펴 볼 수 없다. 이러한 점을 해결하기위해, 데이터에 차분을 적용해 선형적인 추세를 없애 줄 수 있다. * 정상성 : 평균이 일정 -> 모든 시점에 대해서 일정한 평균을 갖음(평균이 일정하지 않은 시계열은 차분을 통해 정상화 가능)

1) 로그 변환을 통해 데이터의 스케일을 눌러줌
2) 이후 차분을 적용하여 선형적인 패턴 제거
3) ACF와 PACF를 진행하여 AR & MA 결정

df_time = pd.DataFrame(df_merge_fin[y_col])

# 2) 차분(1&2차) 확인
def time_series_diff(df_time_target, y_col) :
    # 차분 -> 시계열 정상성 확인
    df_time_target[y_col].plot(
        figsize = (12,5),title = str(APP_KEY +'  : orginal Non Stationary Data')).autoscale(axis = 'x', tight = True)
    plt.show()

    ## 1차 차분
    diff_1 = df_time_target[y_col]-df_time_target[y_col].shift(1) # 판다스의 shift메소드를 이용해 차분하는 방
    plt.figure(figsize = (12,5))
    plt.plot(diff_1)
    plt.title(str(APP_KEY + ' : First Order of Non Stationary Data'))
    plt.show()

    ## 2차 차분
    diff_2 = np.diff(df_time_target[y_col], 2)
    plt.figure(figsize = (12,5))
    plt.plot(diff_2)
    plt.title(str(APP_KEY + ' : Seconde Order of Non Stationary Data'))
    plt.show()
time_series_diff(df_time, y_col)